海盗分金问题
经典智力题
（本帖改编自《科学美国人》杂志中IanStewart的《凶猛海盗的逻辑》）
海盗，大家听说过吧。这是一帮亡命之徒，在海上抢人钱财，夺人性命，干的是刀头上舔血的营生。在我们的印象中，他们一般都瞎一只眼，用条黑布或者讲究点的用个黑皮眼罩把坏眼遮上。他们还有在地下埋宝的好习惯，而且总要画上一张藏宝图，以方便后人掘取。不过大家是否知道，他们是世界上最民主的团体。参加海盗的都是桀骜不驯的汉子，是不愿听人命令的，船上平时一切事都由投票解决。船长的唯一特权，是有自己的一套餐具--可是在他不用时，其他海盗是可以借来用的。船上的唯一惩罚，就是被丢到海里去喂鱼。
现在船上有若干个海盗，要分抢来的若干枚金币。自然，这样的问题他们是由投票来解决的。投票的规则如下：先由最凶猛的海盗来提出分配方案，然后大家一人一票表决，如果有50%或以上的海盗同意这个方案，那么就以此方案分配，如果少于50%的海盗同意，那么这个提出方案的海盗就将被丢到海里去喂鱼，然后由剩下的海盗中最凶猛的那个海盗提出方案，依此类推。
我们先要对海盗们作一些假设。
1)每个海盗的凶猛性都不同，而且所有海盗都知道别人的凶猛性，也就是说，每个海盗都知道自己和别人在这个提出方案的序列中的位置。另外，每个海盗的数学和逻辑都很好，而且很理智。最后，海盗间私底下的交易是不存在的，因为海盗除了自己谁都不相信。
2)一枚金币是不能被分割的，不可以你半枚我半枚。
3)每个海盗当然不愿意自己被丢到海里去喂鱼，这是最重要的。
4)每个海盗当然希望自己能得到尽可能多的金币。
5)每个海盗都是现实主义者，如果在一个方案中他得到了1枚金币，而下一个方案中，他有两种可能，一种得到许多金币，一种得不到金币，他会同意目前这个方案，而不会有侥幸心理。总而言之，他们相信二鸟在林，不如一鸟在手。
6)最后，每个海盗都很喜欢其他海盗被丢到海里去喂鱼。在不损害自己利益的前提下，他会尽可能投票让自己的同伴喂鱼。
现在，如果有10个海盗要分100枚金币，将会怎样？
海盗，大家听说过吧。这是一帮亡命之徒，在海上抢人钱财，夺人性命，干的是刀头上舔血的营生。在我们的印象中，他们一般都瞎一只眼，用条黑布或者讲究点的用个黑皮眼罩把坏眼遮上。他们还有在地下埋宝的好习惯，而且总要画上一张藏宝图，以方便后人掘取。不过大家是否知道，他们是世界上最民主的团体。参加海盗的都是桀骜不驯的汉子，是不愿听人命令的，船上平时一切事都由投票解决。船长的唯一特权，是有自己的一套餐具--可是在他不用时，其他海盗是可以借来用的。船上的唯一惩罚，就是被丢到海里去喂鱼。
现在船上有若干个海盗，要分抢来的若干枚金币。自然，这样的问题他们是由投票来解决的。投票的规则如下：先由最凶猛的海盗来提出分配方案，然后大家一人一票表决，如果有50%或以上的海盗同意这个方案，那么就以此方案分配，如果少于50%的海盗同意，那么这个提出方案的海盗就将被丢到海里去喂鱼，然后由剩下的海盗中最凶猛的那个海盗提出方案，依此类推。
我们先要对海盗们作一些假设。
1)每个海盗的凶猛性都不同，而且所有海盗都知道别人的凶猛性，也就是说，每个海盗都知道自己和别人在这个提出方案的序列中的位置。另外，每个海盗的数学和逻辑都很好，而且很理智。最后，海盗间私底下的交易是不存在的，因为海盗除了自己谁都不相信。
2)一枚金币是不能被分割的，不可以你半枚我半枚。
3)每个海盗当然不愿意自己被丢到海里去喂鱼，这是最重要的。
4)每个海盗当然希望自己能得到尽可能多的金币。
5)每个海盗都是现实主义者，如果在一个方案中他得到了1枚金币，而下一个方案中，他有两种可能，一种得到许多金币，一种得不到金币，他会同意目前这个方案，而不会有侥幸心理。总而言之，他们相信二鸟在林，不如一鸟在手。
6)最后，每个海盗都很喜欢其他海盗被丢到海里去喂鱼。在不损害自己利益的前提下，他会尽可能投票让自己的同伴喂鱼。
现在，如果有10个海盗要分100枚金币，将会怎样？
回答列表
要解决这类问题，我们总是从最后的情形向后推，这样我们就知道在最后这一步中什么是好的和坏的决定。然后运用这个知识，我们就可以得到最后第二步应该作怎样的决定，等等等等。要是直接就从开始入手解决问题，我们就很容易被这样的问题挡住去路：“要是我作这样的决定，下面一个海盗会怎么做？”
以这个思路，先考虑只有2个海盗的情况（所有其他的海盗都已经被丢到海里去喂鱼了）。记他们为P1和P2，其中P2比较凶猛。P2的最佳方案当然是：他自己得100枚金币，P1得0枚。投票时他自己的一票就足够50%了。
往前推一步。现在加一个更凶猛的海盗P3。P1知道——P3知道他知道——如果P3的方案被否决了，游戏就会只由P1和P2来继续，而P1就一枚金币也得不到。所以P3知道，只要给P1一点点甜头，P1就会同意他的方案（当然，如果不给P1一点甜头，反正什么也得不到，P1宁可投票让P3去喂鱼）。所以P3的最佳方案是：P1得1枚，P2什么也得不到，P3得99枚。
P4的情况差不多。他只要得两票就可以了，给P2一枚金币就可以让他投票赞同这个方案，因为在接下来P3的方案中P2什么也得不到。P5也是相同的推理方法只不过他要说服他的两个同伴，于是他给每一个在P4方案中什么也得不到的P1和P3一枚金币，自己留下98枚。
依此类推，P10的最佳方案是：他自己得96枚，给每一个在P9方案中什么也得不到的P2，P4，P6和P8一枚金币。
下面是以上推理的一个表（Y表示同意，N表示反对）：
P1 P2
0 100
N Y
P1 P2 P3
1 0 99
Y N Y
P1 P2 P3 P4
0 1 0 99
N Y N Y
P1 P2 P3 P4 P5
1 0 1 0 98
Y N Y N Y
……
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10
0 1 0 1 0 1 0 1 0 96
N Y N Y N Y N Y N Y
以这个思路，先考虑只有2个海盗的情况（所有其他的海盗都已经被丢到海里去喂鱼了）。记他们为P1和P2，其中P2比较凶猛。P2的最佳方案当然是：他自己得100枚金币，P1得0枚。投票时他自己的一票就足够50%了。
往前推一步。现在加一个更凶猛的海盗P3。P1知道——P3知道他知道——如果P3的方案被否决了，游戏就会只由P1和P2来继续，而P1就一枚金币也得不到。所以P3知道，只要给P1一点点甜头，P1就会同意他的方案（当然，如果不给P1一点甜头，反正什么也得不到，P1宁可投票让P3去喂鱼）。所以P3的最佳方案是：P1得1枚，P2什么也得不到，P3得99枚。
P4的情况差不多。他只要得两票就可以了，给P2一枚金币就可以让他投票赞同这个方案，因为在接下来P3的方案中P2什么也得不到。P5也是相同的推理方法只不过他要说服他的两个同伴，于是他给每一个在P4方案中什么也得不到的P1和P3一枚金币，自己留下98枚。
依此类推，P10的最佳方案是：他自己得96枚，给每一个在P9方案中什么也得不到的P2，P4，P6和P8一枚金币。
下面是以上推理的一个表（Y表示同意，N表示反对）：
P1 P2
0 100
N Y
P1 P2 P3
1 0 99
Y N Y
P1 P2 P3 P4
0 1 0 99
N Y N Y
P1 P2 P3 P4 P5
1 0 1 0 98
Y N Y N Y
……
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10
0 1 0 1 0 1 0 1 0 96
N Y N Y N Y N Y N Y
1、按照提方案的顺序，分别设5个人为a、b、c、d、e。
2、假设a和b都死了，只剩c、d、e；这种情况下，无论如何c和d一块也拿不到，甚至自 己的生命都被操纵在e手里。
3、所以，b肯定没有死。
4、再来讨论a死了，只剩b、c、d、e的情况：因为b如果死了，c、d的生命就被e操纵，所以即使b一块也不给c、d，他们也非同意不可。所以如果a死了，结果就是100，0，0，0。
5、所以，a只要知道自己死后的情况，就可以提出97，0，1，1，1的方案。
2、假设a和b都死了，只剩c、d、e；这种情况下，无论如何c和d一块也拿不到，甚至自 己的生命都被操纵在e手里。
3、所以，b肯定没有死。
4、再来讨论a死了，只剩b、c、d、e的情况：因为b如果死了，c、d的生命就被e操纵，所以即使b一块也不给c、d，他们也非同意不可。所以如果a死了，结果就是100，0，0，0。
5、所以，a只要知道自己死后的情况，就可以提出97，0，1，1，1的方案。
博弈论理论往往要从结局（最简单的情形）开始分析，首先，为了方便讨论，我们不妨把五个海盗按凶猛性从大到小排列，分别称作老大、老二、老三、老四、老五。
1.
当然了，当只剩下一个海盗时，问题已经结束了，老五独得100金币，这毫无异议。我们从剩下两个海盗开始讨论。
2.
当只剩下老四和老五时，由老四提出分配方案，这时，无论老四怎么分配，老五都会否决，因为只有老五一人投票，老四必死，这样就变成了局面1，老五独得100金。即使老四将100金币全额分给老五，根据题目中的假设6：“在不损害自己利益的前提下，海盗们会尽可能投票让自己的同伴喂鱼。”老四也免不了一死。因此说，老四绝不会把游戏引向这个局面。在这种局面下，每个人的最大利益：
老五 老四 老三 老二 老大
局势2 100 -1 --- --- ---
3.
当只剩下老三、老四和老五时，由老三提出分配方案，老三一开始就有了老四这一张铁票（老四现在支持老三还可以免一死，否则进入局势2他就死定了），支持率已经达到50%，因此老三不用讨好任何人，直接分给自己100金。也就是：
老五 老四 老三 老二 老大
局势2 100 -1 --- --- ---
局势3 0 0 100 --- ---
4.
当只剩下老二、老三、老四和老五时，由老二提出分配方案，老二必须在老三、老四或老五中获得至少2张票，从上表我们可以看到，讨好老三是不可能的，老三不会满足于少于100金的任何分配，因为只要进入局势3，他就铁定有100金，更何况他喜欢看到老二跳海呢。于是他就需要得到老四和老五的支持，而每个人只要1金就可以了，因为给了1金后，如果他俩不支持，进入局势3，等到老三掌管天下时，他们连1金都没有。（但不给也不行，因为，在同等条件下，他们希望看到老二跳海）用表格表示：
老五 老四 老三 老二 老大
局势2 100 -1 --- --- ---
局势3 0 0 100 --- ---
局势4 1 1 0 98 ---
5.
最后是问题刚开始了，老大、老二、老三、老四和老五全在场时，由老大提出分配方案，他需要至少两张票。一张最容易求得的票是老三的，只需要给他1金就可以了，如果老三不支持他，那么同样道理进入局势4老二连1金都不会给他。另外一张票可以是老四或老五，随便谁都行，无论谁只要给2金就可以了，道理你应该明白吧。所以呢，最后的结果（那个2金在老五那也可以）：
老五 老四 老三 老二 老大
局势2 100 -1 --- --- ---
局势3 0 0 100 --- ---
局势4 1 1 0 98 ---
局势5 0 2 1 0 97
于是我们得到了最终的分配方案：凶猛性从小到大分别得到0、2、1、0、97或2、0、1、0、97。
1.
当然了，当只剩下一个海盗时，问题已经结束了，老五独得100金币，这毫无异议。我们从剩下两个海盗开始讨论。
2.
当只剩下老四和老五时，由老四提出分配方案，这时，无论老四怎么分配，老五都会否决，因为只有老五一人投票，老四必死，这样就变成了局面1，老五独得100金。即使老四将100金币全额分给老五，根据题目中的假设6：“在不损害自己利益的前提下，海盗们会尽可能投票让自己的同伴喂鱼。”老四也免不了一死。因此说，老四绝不会把游戏引向这个局面。在这种局面下，每个人的最大利益：
老五 老四 老三 老二 老大
局势2 100 -1 --- --- ---
3.
当只剩下老三、老四和老五时，由老三提出分配方案，老三一开始就有了老四这一张铁票（老四现在支持老三还可以免一死，否则进入局势2他就死定了），支持率已经达到50%，因此老三不用讨好任何人，直接分给自己100金。也就是：
老五 老四 老三 老二 老大
局势2 100 -1 --- --- ---
局势3 0 0 100 --- ---
4.
当只剩下老二、老三、老四和老五时，由老二提出分配方案，老二必须在老三、老四或老五中获得至少2张票，从上表我们可以看到，讨好老三是不可能的，老三不会满足于少于100金的任何分配，因为只要进入局势3，他就铁定有100金，更何况他喜欢看到老二跳海呢。于是他就需要得到老四和老五的支持，而每个人只要1金就可以了，因为给了1金后，如果他俩不支持，进入局势3，等到老三掌管天下时，他们连1金都没有。（但不给也不行，因为，在同等条件下，他们希望看到老二跳海）用表格表示：
老五 老四 老三 老二 老大
局势2 100 -1 --- --- ---
局势3 0 0 100 --- ---
局势4 1 1 0 98 ---
5.
最后是问题刚开始了，老大、老二、老三、老四和老五全在场时，由老大提出分配方案，他需要至少两张票。一张最容易求得的票是老三的，只需要给他1金就可以了，如果老三不支持他，那么同样道理进入局势4老二连1金都不会给他。另外一张票可以是老四或老五，随便谁都行，无论谁只要给2金就可以了，道理你应该明白吧。所以呢，最后的结果（那个2金在老五那也可以）：
老五 老四 老三 老二 老大
局势2 100 -1 --- --- ---
局势3 0 0 100 --- ---
局势4 1 1 0 98 ---
局势5 0 2 1 0 97
于是我们得到了最终的分配方案：凶猛性从小到大分别得到0、2、1、0、97或2、0、1、0、97。
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