12个乒乓球的难题 称球问题

　　天平称重，有两个托盘比较轻重，加上托盘外面，也就是每次称重有3个结果，就是ln3/ln2比特信息。n个球要知道其中一个不同的球，如果知道那个不同重量的球是轻还是重，找出来的话那就是n个结果中的一种，就是有ln（n）/ln2比特信息，如果不知道轻重，找出来就是2n（n个球中的一个，轻或者重，所以是2n）个结果中的一种，那就是ln（2n）/ln2比特信息。 
　　假设我们要称k次，根据信息理论，那显然两种情况就分别有： 
　　（1）k*ln3/ln2>=ln（n）/ln2　（k>=1）　解得k>=ln（n）/ln3 
　　（2）k*ln3/ln2>=ln（2n）/ln2　（k>1）　解得k>=ln（2n）/ln3 
　　这是得到下限，可以很轻易证明满足条件的最小正整数k就是所求。比如称3次知道轻重可以从3^3=27个球中找出不同的球出来，如果不知道轻重就只能从（3^3-1）/2=13个球中找出不同的球出来。 

　　第一次称取[3^(k-1)-1]个球放在天平天平两端，则：
　　如果平衡，获得[3^(k-1)-1]个标准球，坏球在剩下的[3^(k-1)+1]/2个中。由于 [3^(k-1)-1]>=[3^(k-1)+1]/2，（k>=2),即已知的标准球数不小于未知球数? 所以在以后的测量中就相当于任意给定标准球的情况，可知对于[3^(k-1)+1]/2的情况(k-1)次可解。
　　如果不平衡，大的那方记做A,小的那方记作B。标准球记做C，则现在我们有[3^(k-1)-1]/2个A球和B球，有[3^(k-1)+1]/2个C球。

　　第二次用3^(k-2)个A球加[3^(k-2)-1]/2个B球放左边? 3^(k-2)个C球加[3^(k-2)-1]/2个A球放右边。
　　如果左边大于右边，则说明是在左边的3^(k-2)个A球中质量大的为坏球；
　　如果左边等于右边，则说明是在第二次称时没用的3^(k-2)个B球中质量轻 的为坏球。以上两种情况都可以再用三分法(k-2)次解决，加上前两次共k次解决。
　　如果左边小于右边，则坏球在左边的[3^(k-2)-1]/2个B球中或在右边的同样 数目的A球中。
　　此时的情况和第二次开始时类似（只不过是k-1变成k-2)。

　　用相同的办法一直往下追溯到一个A球和一个B球一次区分的情况，这时只需拿A球和标准球比较以下就行了。因此在这种情况下也是可以最终用k次解决的。

首先,左右各4球，若平衡，则在剩余中，再取2好球和2剩余球称，比较即可。
若不平衡，则剩余的皆位好球，可选择如下：
新左盘=原左3球+右盘1球
新右盘=原左盘1球+3好球
以后同前。

①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑾⑿
第一次：①②③④和⑤⑥⑦⑧称，


A，若平，则次品是⑨⑩⑾⑿之一；
第二次：⑨⑩和①②称，
a，若平，则次品是⑾⑿之一；
第三次：⑾和①称，若平，则⑿是次品；若不平，则⑾是次品。

b，若不平，则次品是⑨⑩之一；
第三次：⑨和①称，若平，则⑩是次品；若不平，则⑨是次品。




B，若不平，①②③④边重，则次品是①②③④之一（次品比正品重），或⑤⑥⑦⑧之一（次品比正品轻）；
第二次：①②⑤和③④⑥称，
a，若平，则次品是⑦⑧之一；
第三次：⑦和⑨称，若平，则⑧是次品；若不平，则⑦是次品。

b，若不平，①②⑤边重，则次品是①②之一（次品比正品重），或⑥（次品比正品轻）；
第三次：①和②称，若平，则⑥是次品；若不平，则①②中重者为次品。

c，若不平，③④⑥边重，则根据以上方法同样可得次品。


C，若不平，⑤⑥⑦⑧边重，则根据以上方法同样可得次品。